Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = 2 sin(−x − 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −1).

f(x, y) = 2 sin(−x − 2y)P = (−1, −1)
fxy(−1, −1) =
2.Facile
xy12P

Pour f(x, y) = 3xy³ + 3x² − 2y³ − 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 2).

f(x, y) = 3xy³ + 3x² − 2y³ − 3xyP = (1, 2)
fx(1, 2) =
3.Moyen
xy−2−2P

Le plan tangent à z = 2x³y − 2x² − 3y² + xy au point où (x, y) = (−2, −2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2x³y − 2x² − 3y² + xy(a, b) = (−2, −2)
c =
4.Moyen
xy−1−1P

Le plan tangent à z = x³y + 4x² + 2y² au point où (x, y) = (−1, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = x³y + 4x² + 2y²(a, b) = (−1, −1)
c =
5.Difficile
xy−101−1012(0, 1)

f(x, y) = −2x² − xy − 2y² + x + 4y − 4 a un point critique en (0, 1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −2x² − xy − 2y² + x + 4y − 4P = (0, 1)
D =
6.Difficile
xyx = 2y = x2

L’intégrale I = ∫02 ∫y2 cos(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(−1, −1) = −0,5645
  2. 2. fx(1, 2) = 24
  3. 3. c = −80
  4. 4. c = −9
  5. 5. D = 15
  6. 6. I = −0,3784

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