Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy20,5P

Pour f(x, y) = 2x³e2y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, 0,5).

f(x, y) = 2x³e2yP = (2, 0,5)
fx(2, 0.5) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 5xy + x³ + 2y³, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (1, −1).

f(x, y) = 5xy + x³ + 2y³P = (1, −1)
fyy(1, −1) =
3.Moyen
xy−2−1P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −4xy + 3x³ − 3y³ en (−2, −1) pour approcher f(−1,8, −1,1). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −4xy + 3x³ − 3y³(a, b) = (−2, −1)(x, y) = (−1,8, −1,1)
L =
4.Moyen

z = 3x²y³ − 2x³ + 4y³ + 4xy avec x = −t + 2 et y = 2t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = 3x²y³ − 2x³ + 4y³ + 4xyx = −t + 2y = 2t² + 1t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xyy = xy = x²11

Calculez I = ∬R xy dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = x.

y = x²y = xf = xy
I =
6.Difficile
xy2

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =

Corrigé

  1. 1. fx(2, 0.5) = 65,24
  2. 2. fyy(1, −1) = −12
  3. 3. L = −20,9
  4. 4. dz/dt = −3840
  5. 5. I = 0,04167
  6. 6. I = 12,57

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