Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −2x²ey, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, −1).

f(x, y) = −2x²eyP = (1, −1)
fxy(1, −1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = x²ey, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 2).

f(x, y) = x²eyP = (1, 2)
fxy(1, 2) =
3.Moyen
xy0,52∇fP

Pour f(x, y) = −y·e2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −y·e2xyP = (0,5, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−4−20024vP

Pour f(x, y) = −3x²y² − 5x² + 2y³ − 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, 1) dans la direction de v = (−3, 4).

f(x, y) = −3x²y² − 5x² + 2y³ − 2xyP = (−1, 1)v = (−3, 4)
Duf =
5.Difficile
xy1,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 2,25 dans le premier quadrant.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Difficile
xy−50−4−202(0, 0)(−3, −3)

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 9xyP = (0, 0)
D =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, −1) = −1,472
  2. 2. fxy(1, 2) = 14,78
  3. 3. |∇f| = 63,13
  4. 4. Duf = −6,8
  5. 5. I = 1,767
  6. 6. D = −81

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