Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−3−1P

Pour f(x, y) = 3x²y³ − 2x³ − 4y³ − xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−3, −1).

f(x, y) = 3x²y³ − 2x³ − 4y³ − xyP = (−3, −1)
fy(−3, −1) =
2.Facile
xy−12P

Pour f(x, y) = 2 sin(−x + 2y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, 2).

f(x, y) = 2 sin(−x + 2y)P = (−1, 2)
fy(−1, 2) =
3.Moyen
xy02−202PQ

Pour f(x, y) = xe2y, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(0,5, −1) dans la direction de Q(2,5, 2).

f(x, y) = xe2yP = (0,5, −1)Q = (2,5, 2)
Duf =
4.Moyen
xy1−2P

Le plan tangent à z = 4x³y² − 3x² + y³ − 4xy au point où (x, y) = (1, −2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 4x³y² − 3x² + y³ − 4xy(a, b) = (1, −2)
c =
5.Difficile
xyx = 1,2y = x1,2

L’intégrale I = ∫01,2 ∫y1,2 ex² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 1,2
I =
6.Difficile
xy10,25

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la couronne 0,0625 ≤ x² + y² ≤ 1.

f = x² + y²0,25 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fy(−3, −1) = 72
  2. 2. fy(−1, 2) = 1,135
  3. 3. Duf = 0,1877
  4. 4. c = −53
  5. 5. I = 1,61
  6. 6. I = 1,565

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