Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = sin(x + 3y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 2).

f(x, y) = sin(x + 3y)P = (2, 2)
fxy(2, 2) =
2.Facile
xy2−2P

Pour f(x, y) = −4xy² − 5x³ − y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, −2).

f(x, y) = −4xy² − 5x³ − y² + 2xyP = (2, −2)
fy(2, −2) =
3.Moyen
xy10,5∇fP

Pour f(x, y) = −y·e3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (1, 0,5) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = −y·e3xyP = (1, 0,5)
θ = °
4.Moyen
xy22P

Le plan tangent à z = 2y·e−xy au point où (x, y) = (2, 2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2y·e−xy(a, b) = (2, 2)
c =
5.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 1/(1 + y²)² dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
6.Difficile
xy1,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 2,25 dans le premier quadrant.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 2) = −2,968
  2. 2. fy(2, −2) = 40
  3. 3. θ = −106,7 °
  4. 4. c = 0,5861
  5. 5. I = 0,3462
  6. 6. I = 0,7026

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