Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 5x²y + 2x³ − 3y² + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−1, −2).

f(x, y) = 5x²y + 2x³ − 3y² + 3xyP = (−1, −2)
fyy(−1, −2) =
2.Facile
xy1−1P

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, −1).

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (1, −1)
fy(1, −1) =
3.Moyen
xy1−1∇fP

Pour f(x, y) = 2x³e0,5y, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2x³e0,5yP = (1, −1)
|∇f| =
4.Moyen

z = 2xy³ + 3x³ − 3y³ + 2xy avec x = −2t et y = 2t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = 2xy³ + 3x³ − 3y³ + 2xyx = −2ty = 2t² + 1t = 1
dz/dt =
5.Difficile
xyy = 2y = x22

L’intégrale I = ∫02 ∫x2 sin(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
6.Difficile
xy−202−20AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y. Cliquez sur le maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 4y
  1. 1A (−1, −2)
  2. 2B (1, −2)

Corrigé

  1. 1. fyy(−1, −2) = −6
  2. 2. fy(1, −1) = −4,8
  3. 3. |∇f| = 3,689
  4. 4. dz/dt = −964
  5. 5. I = 0,8268
  6. 6. B (1, −2)

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