Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile
xyx = 2x = 3y = 3y = 22332

Calculez I = ∫23 ∫23 (−2xy² + 6) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3.

f = −2xy² + 62 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 2).

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)P = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
3.Moyen
xy−1−1∇fP

Pour f(x, y) = −xy³ + 5x² + y³ − 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −xy³ + 5x² + y³ − 3xyP = (−1, −1)
|∇f| =
4.Moyen

z = −x³y − 4y² + 2xy avec x = t − 1 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = −x³y − 4y² + 2xyx = t − 1y = −t² − 2t = 2
dz/dt =
5.Difficile
xyx = 4y = 3x412

Calculez I = ∬T (4x − y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 4 et y = 3x.

f = 4x − y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3x
I =
6.Difficile
xyy = 2xy = x²24

Trouvez l’aire I = ∬R 1 dA de la région R comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 2x.

y = x²y = 2xf = 1
I =

Corrigé

  1. 1. I = −25,67
  2. 2. fxy(−1, 2) = 0,426
  3. 3. |∇f| = 10,82
  4. 4. dz/dt = −190
  5. 5. I = 160
  6. 6. I = 1,333

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