Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy12P

Pour f(x, y) = −3x³y² + x³ + y³ − 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 2).

f(x, y) = −3x³y² + x³ + y³ − 2xyP = (1, 2)
fy(1, 2) =
2.Facile
xy−1−2P

Pour f(x, y) = 2x²y − 5x² − 2y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, −2).

f(x, y) = 2x²y − 5x² − 2y³ + 4xyP = (−1, −2)
fx(−1, −2) =
3.Moyen
xy−4−202024vP

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, 2) dans la direction de v = (−1, 3).

f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)P = (−1, 2)v = (−1, 3)
Duf =
4.Moyen
xy10,5∇fP

Pour f(x, y) = −2x²e0,5y, trouvez la direction de la plus forte montée en (1, 0,5) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = −2x²e0,5yP = (1, 0,5)
θ = °
5.Difficile
xy−202−2024(1, 3)(−1, 3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 6y
fmin =
6.Difficile
xy−202−4−202(0, −3)

f(x, y) = 3x² + 2xy + 2y² + 6x + 12y − 1 a un point critique en (0, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = 3x² + 2xy + 2y² + 6x + 12y − 1P = (0, −3)
D =

Corrigé

  1. 1. fy(1, 2) = −2
  2. 2. fx(−1, −2) = 10
  3. 3. Duf = 2,741
  4. 4. θ = −166 °
  5. 5. fmin = −11
  6. 6. D = 20

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