Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −3x³y + 4x³ − y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (2, −2).

f(x, y) = −3x³y + 4x³ − y³ + 4xyP = (2, −2)
fyy(2, −2) =
2.Facile
xyx = 2x = 3y = 3y = 12331

Calculez I = ∫23 ∫13 (4y² − 3) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 4y² − 32 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy21∇fP

Pour f(x, y) = −3x²y² − x² − 5y³ − xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −3x²y² − x² − 5y³ − xyP = (2, 1)
|∇f| =
4.Moyen

z = −2xy³ + 3x³ − y² − 2xy avec x = 2t + 2 et y = −2t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = −2xy³ + 3x³ − y² − 2xyx = 2t + 2y = −2t² − 1t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R y dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 9 (y ≥ 0).

f = y0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π
I =
6.Difficile
xyx = 1y = x11

Calculez I = ∬T (2x − y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 1 et y = x.

f = 2x − y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ x
I =

Corrigé

  1. 1. fyy(2, −2) = 12
  2. 2. I = 28,67
  3. 3. |∇f| = 44,38
  4. 4. dz/dt = 144
  5. 5. I = 18
  6. 6. I = 0,5

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