Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,50,5P

Pour f(x, y) = ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 0,5).

f(x, y) = ln(x² + 2y²)P = (0,5, 0,5)
fy(0.5, 0.5) =
2.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = 3 sin(2x − y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 0,5).

f(x, y) = 3 sin(2x − y)P = (1, 0,5)
fx(1, 0.5) =
3.Moyen
xy−12∇fP

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (−1, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−1−1∇fP

Pour f(x, y) = 2x³y² − 4x³ + y³ + 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2x³y² − 4x³ + y³ + 2xyP = (−1, −1)
|∇f| =
5.Difficile
xyy = 2xy = x²24

Calculez I = ∬R y dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 2x.

y = x²y = 2xf = y
I =
6.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 9 dans le premier quadrant.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. fy(0.5, 0.5) = 2,667
  2. 2. fx(1, 0.5) = 0,4244
  3. 3. |∇f| = 1,872
  4. 4. |∇f| = 9,434
  5. 5. I = 2,133
  6. 6. I = 31,81

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