Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = 5 sin(2x + 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 2).

f(x, y) = 5 sin(2x + 2y)P = (1, 2)
fxy(1, 2) =
2.Facile
xyx = 2x = 3y = 4y = 22342

Calculez I = ∫23 ∫24 (x·e−y) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 4.

f = x·e−y2 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 4
I =
3.Moyen
xy21∇fP

Pour f(x, y) = −4x³y − 4x³ − 5y² + 4xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −4x³y − 4x³ − 5y² + 4xyP = (2, 1)
|∇f| =
4.Moyen
xy−21∇fP

Pour f(x, y) = 3x³y³ − 4x² − 4y³ − 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3x³y³ − 4x² − 4y³ − 2xyP = (−2, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xyx = 0,8y = x0,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫y0,8 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =
6.Difficile
xy−202−20AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y
  1. 1A (−2, −2)
  2. 2B (2, −2)

Corrigé

  1. 1. fxy(1, 2) = 5,588
  2. 2. I = 0,2925
  3. 3. |∇f| = 98,08
  4. 4. |∇f| = 94,34
  5. 5. I = 0,1951
  6. 6. A (−2, −2)

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