Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = 3x²e0,5y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 1).

f(x, y) = 3x²e0,5yP = (0,5, 1)
fy(0.5, 1) =
2.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 1).

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (0,5, 1)
fx(0.5, 1) =
3.Moyen
xy13P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 4x³y − 5x² − 3y² − xy en (1, 3) pour approcher f(0,8, 3,05). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 4x³y − 5x² − 3y² − xy(a, b) = (1, 3)(x, y) = (0,8, 3,05)
L =
4.Moyen
xy0,50,5∇fP

Pour f(x, y) = x²e−y, trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 0,5), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = x²e−yP = (0,5, 0,5)
|∇f| =
5.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 sin(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
6.Difficile
xyx = 2y = x2

L’intégrale I = ∫02 ∫y2 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =

Corrigé

  1. 1. fy(0.5, 1) = 0,6183
  2. 2. fx(0.5, 1) = 0,8889
  3. 3. L = −28,35
  4. 4. |∇f| = 0,6252
  5. 5. I = 0,8141
  6. 6. I = 0,4

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