Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1y = 111

Calculez I = ∫01 ∫01 (−y² + 1) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

f = −y² + 10 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 1
I =
2.Facile
xy12P

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 2).

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (1, 2)
fx(1, 2) =
3.Moyen
xy2−1∇fP

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (2, −1)
|∇f| =
4.Moyen
xy2−1P

Le plan tangent à z = 2y·exy au point où (x, y) = (2, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2y·exy(a, b) = (2, −1)
c =
5.Difficile
xy−505−4−202(3, −3)(−3, −3)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6y a un point critique en (3, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 6yP = (3, −3)
D =
6.Difficile
xy−202−101(1, 0)(−1, 0)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y², classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y²
fmax =

Corrigé

  1. 1. I = 0,6667
  2. 2. fx(1, 2) = 0,2353
  3. 3. |∇f| = 3,354
  4. 4. c = −1,083
  5. 5. D = 36
  6. 6. fmax = 2

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