Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2x = 5y = 4y = 12541

Calculez I = ∫25 ∫14 (−2y + 6) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 4.

f = −2y + 62 ≤ x ≤ 51 ≤ y ≤ 4
I =
2.Facile
xyx = 3y = 3y = 1331

Calculez I = ∫03 ∫13 (4y² − 3) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3.

f = 4y² − 30 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy0,51P

Le plan tangent à z = 2 ln(x² + 3y²) au point où (x, y) = (0,5, 1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)(a, b) = (0,5, 1)
c =
4.Moyen
xy−22∇fP

Pour f(x, y) = 2xy³ − 3x² − 2y³ + 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2xy³ − 3x² − 2y³ + 3xyP = (−2, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−202ABC

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
  1. 1A (2, 2)
  2. 2B (−2, −2)
  3. 3C (0, 0)
6.Difficile
xy−202−1012(1, 1)(−1, 1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y
fmin =

Corrigé

  1. 1. I = 9
  2. 2. I = 86
  3. 3. c = −1,643
  4. 4. |∇f| = 85,09
  5. 5. C (0, 0)
  6. 6. fmin = −3

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