Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = 5 sin(−x + 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, 0,5).

f(x, y) = 5 sin(−x + 2y)P = (0,5, 0,5)
fxy(0.5, 0.5) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3y·e2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, −1).

f(x, y) = 3y·e2xyP = (0,5, −1)
fxy(0.5, −1) =
3.Moyen
xy31∇fP

Pour f(x, y) = 4x³y³ − 4x³ − 3y² + 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 4x³y³ − 4x³ − 3y² + 2xyP = (3, 1)
|∇f| =
4.Moyen
xy024−202PQ

Pour f(x, y) = 5x²y − 2x² − 3y² + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(2, −1) dans la direction de Q(5, 2).

f(x, y) = 5x²y − 2x² − 3y² + 3xyP = (2, −1)Q = (5, 2)
Duf =
5.Difficile
xy−20202(2, 2)(−2, 2)

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y a un point critique en (2, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4yP = (2, 2)
D =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =

Corrigé

  1. 1. fxy(0.5, 0.5) = 4,794
  2. 2. fxy(0.5, −1) = −2,207
  3. 3. |∇f| = 324
  4. 4. Duf = 0,7071
  5. 5. D = 24
  6. 6. D = −256

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