Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 5x³y³ + 4x³ + y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−2, 1).

f(x, y) = 5x³y³ + 4x³ + y³ + 3xyP = (−2, 1)
fxy(−2, 1) =
2.Facile
xy1−1P

Pour f(x, y) = 3 sin(2x − 3y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, −1).

f(x, y) = 3 sin(2x − 3y)P = (1, −1)
fx(1, −1) =
3.Moyen
xy3−1∇fP

Pour f(x, y) = 5x²y − 3x³ + xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 5x²y − 3x³ + xyP = (3, −1)
|∇f| =
4.Moyen
xy0246−4−202vP

Pour f(x, y) = ln(x² + y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en (2, 0,5) dans la direction de v = (4, −4).

f(x, y) = ln(x² + y²)P = (2, 0,5)v = (4, −4)
Duf =
5.Difficile
xyy = 2xy = x²24

Calculez I = ∬R xy dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 2x.

y = x²y = 2xf = xy
I =
6.Difficile
xyx = 1y = 0,5x10,5

Calculez I = ∬T (4x + 4y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 1 et y = 0,5x.

f = 4x + 4y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(−2, 1) = 183
  2. 2. fx(1, −1) = 1,702
  3. 3. |∇f| = 121,9
  4. 4. Duf = 0,4991
  5. 5. I = 2,667
  6. 6. I = 0,8333

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