Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy22P

Pour f(x, y) = 5x²y − 4x² − y³ − 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, 2).

f(x, y) = 5x²y − 4x² − y³ − 2xyP = (2, 2)
fx(2, 2) =
2.Facile
xy2−1P

Pour f(x, y) = xe−y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, −1).

f(x, y) = xe−yP = (2, −1)
fx(2, −1) =
3.Moyen
xy33∇fP

Pour f(x, y) = −x³y² + 2y² − 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, 3), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −x³y² + 2y² − 3xyP = (3, 3)
|∇f| =
4.Moyen
xy−3−2−101−20vP

Pour f(x, y) = 2x²y − 4x³ + 5y³, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, −1) dans la direction de v = (1, 2).

f(x, y) = 2x²y − 4x³ + 5y³P = (−1, −1)v = (1, 2)
Duf =
5.Difficile
xyy = xy = x²11

Trouvez l’aire I = ∬R 1 dA de la région R comprise entre la parabole y = x² et la droite y = x.

y = x²y = xf = 1
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Corrigé

  1. 1. fx(2, 2) = 20
  2. 2. fx(2, −1) = 2,718
  3. 3. |∇f| = 298
  4. 4. Duf = 11,63
  5. 5. I = 0,1667
  6. 6. fmin = −2

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