Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −xy³ − 4x³ + 4y² − 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x² en (−2, −2).

f(x, y) = −xy³ − 4x³ + 4y² − 2xyP = (−2, −2)
fxx(−2, −2) =
2.Facile
xy0,52P

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 2).

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (0,5, 2)
fy(0.5, 2) =
3.Moyen
xy−202024PQ

Pour f(x, y) = ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(0,5, 2) dans la direction de Q(−2,5, 5).

f(x, y) = ln(x² + 2y²)P = (0,5, 2)Q = (−2,5, 5)
Duf =
4.Moyen
xy10,5∇fP

Pour f(x, y) = y·e3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (1, 0,5) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = y·e3xyP = (1, 0,5)
θ = °
5.Difficile
xyy = 3xy = x²39

Calculez I = ∬R x dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 3x.

y = x²y = 3xf = x
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

Corrigé

  1. 1. fxx(−2, −2) = 48
  2. 2. fy(0.5, 2) = 1,959
  3. 3. Duf = 0,6
  4. 4. θ = 73,3 °
  5. 5. I = 6,75
  6. 6. fmin = −32

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