Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−1−2P

Pour f(x, y) = xy³ − 2x² − y³ − xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, −2).

f(x, y) = xy³ − 2x² − y³ − xyP = (−1, −2)
fy(−1, −2) =
2.Facile
xy0,52P

Pour f(x, y) = 5 sin(3x + 2y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 2).

f(x, y) = 5 sin(3x + 2y)P = (0,5, 2)
fx(0.5, 2) =
3.Moyen
xy−500246vP

Pour f(x, y) = −3xy² + 2x² + y³ + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, 3) dans la direction de v = (1, 0).

f(x, y) = −3xy² + 2x² + y³ + 3xyP = (−1, 3)v = (1, 0)
Duf =
4.Moyen

z = −2xy² + y² + 2xy avec x = −3t + 2 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = −2xy² + y² + 2xyx = −3t + 2y = −t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xyx = 2y = x2

L’intégrale I = ∫02 ∫y2 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
6.Difficile
xy−505−2024(3, 2)(−3, 2)

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 4y a un point critique en (−3, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 27x + y² − 4yP = (−3, 2)
D =

Corrigé

  1. 1. fy(−1, −2) = −23
  2. 2. fx(0.5, 2) = 10,63
  3. 3. Duf = −22
  4. 4. dz/dt = 200
  5. 5. I = 0,8268
  6. 6. D = −36

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