Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile
x22,22,42,62,83y1,38631,43511,48161,52611,56861,6094

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 2,9.

x = 2,9
y =
3.Moyen
t (s)051015202530v (m/s)712119141716

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode des trapèzes.

h = 5 sn = 6
s = m
4.Moyen
xy012

Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode des trapèzes avec n = 2 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
5.Difficile
00,20,411,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y2 =
6.Difficile
00,511,520510ty(0, 1)

Résolvez y′ = t + y, y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2. La solution exacte est y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2) − y4|.

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,5
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,567
  2. 2. y = 1,589
  3. 3. s = 372,5 m
  4. 4. T = 1,328
  5. 5. y2 = 1,668
  6. 6. |E| = 4,653

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