Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Facile
x11,21,41,61,82y1,09861,16321,22381,28091,3351,3863

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 1,85.

x = 1,85
y =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,001
n =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
5.Difficile
00,20,40,60,40,60,81ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,2
y3 =
6.Difficile
00,20,400,20,4ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,5663
  2. 2. y = 1,348
  3. 3. n = 37
  4. 4. n = 90
  5. 5. y3 = 1,015
  6. 6. y1 = 0,4629

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