Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x2.

f(x) = x³ − x − 2f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1,5
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,001
n =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,20,411,52ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = t² + y², y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,20,40,612ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y3 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,521
  2. 2. x1 = 0,7504
  3. 3. n = 37
  4. 4. n = 84
  5. 5. y1 = 2,055
  6. 6. y3 = 2,51

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