Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x³ − x − 3 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = x³ − x − 3[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 4,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 20 avec la valeur de départ x₀ = 4,5. Trouvez x2.

f(x) = x² − 20f′(x) = 2xx₀ = 4,5
x2 =
3.Moyen
t (s)0102030405060v (m/s)341011172223

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 60 s avec la méthode des trapèzes.

h = 10 sn = 6
s = m
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 sin x dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,10,20,30,50,550,6ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = 0,5y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = 0,5yy(0) = 0,5h = 0,1
y3 =
6.Difficile
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. x2 = 4,472
  3. 3. s = 770 m
  4. 4. |E| = 0,009617
  5. 5. y3 = 0,5809
  6. 6. y1 = 0,7128

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