Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 0,5. Trouvez x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0,5
x1 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,05 ?

b − a = 1ε = 0,05
n =
3.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 √(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 4 bandes. Donnez T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 4
T =
4.Moyen
xy00,40,81,21,62

Approchez ∫02 √x·e−x dx par la méthode des trapèzes avec n = 5 bandes. Donnez T.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 5
T =
5.Difficile
00,20,40,50,60,7ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,25
y2 =
6.Difficile
00,20,40,60,30,40,5ty(0, 0,5)

Résolvez y′ = −2ty, y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 0,75. La solution exacte est y = y₀e−t². Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,75) − y3|.

y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,25
|E| =

Corrigé

  1. 1. x1 = 0,7552
  2. 2. n = 5
  3. 3. T = 3,283
  4. 4. T = 0,6027
  5. 5. y2 = 0,6736
  6. 6. |E| = 0,04323

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