Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x1.

f(x) = x³ − x − 2f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1,5
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x1.

f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x1 =
3.Moyen
t (s)02468v (m/s)75111314

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 2 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 8 s avec la méthode des trapèzes.

h = 2 sn = 4
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,5123ty(0, 3)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,5 pour y′ = cos t − y, y(0) = 3 afin d’estimer y2 ≈ y(1).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,5
y2 =
6.Difficile
00,050,10,150,20,50,55ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 1,522
  2. 2. x1 = 1,909
  3. 3. s = 79 m
  4. 4. n = 151
  5. 5. y2 = 1,632
  6. 6. y1 = 0,5584

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