Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 0,5. Trouvez x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0,5
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x2 =
3.Moyen
t (s)051015202530v (m/s)5101313192227

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode des trapèzes.

h = 5 sn = 6
s = m
4.Moyen
xy00,250,50,7511,251,5

Approchez ∫01,5 e−x² dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
5.Difficile
00,20,411,52ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = t² + y², y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,25
y2 =
6.Difficile
012012ty(0, 0,2)

Résolvez y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 2,5. La solution exacte est y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Trouvez l’erreur globale |E| = |y(2,5) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,5
|E| =

Corrigé

  1. 1. x1 = 0,7552
  2. 2. x2 = 1,847
  3. 3. s = 465 m
  4. 4. S = 0,8562
  5. 5. y2 = 1,986
  6. 6. |E| = 0,04568

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