Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xyx₀ = 1,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 2 avec la valeur de départ x₀ = 1,5. Trouvez x2.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 1,5
x2 =
2.Facile
x00,20,40,60,81y11,09541,18321,26491,34161,4142

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 0,08.

x = 0,08
y =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 x³ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,10,20,30,40,40,450,5ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y4 ≈ y(0,4).

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y4 =
6.Difficile
00,050,10,50,520,54ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,414
  2. 2. y = 1,038
  3. 3. n = 16
  4. 4. |E| = 0,0625
  5. 5. y4 = 0,3841
  6. 6. y1 = 0,5474

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