Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 10 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
2.Facile
xyx₀ = 4

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 13 avec la valeur de départ x₀ = 4. Trouvez x2.

f(x) = x² − 13f′(x) = 2xx₀ = 4
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Moyen
xy00,3750,751,1251,5

Approchez ∫01,5 1/(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
5.Difficile
00,050,10,150,211,11,21,3ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = t² + y², y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1
y2 =
6.Difficile
00,20,40,40,60,81ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x1 = 2,4
  2. 2. x2 = 3,606
  3. 3. n = 37
  4. 4. S = 1,011
  5. 5. y2 = 1,252
  6. 6. y1 = 0,9138

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