Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Facile
x234567y1,38631,60941,79181,94592,07942,1972

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer la valeur x où y = 1,838.

y = 1,838
x =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Moyen
xy00,511,5

Approchez ∫01,5 sin(x²) dx par la méthode des trapèzes avec n = 3 bandes. Donnez T.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
T =
5.Difficile
00,20,40,60,80,40,60,81ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = y − t², y(0) = 0,5 afin d’estimer y4 ≈ y(0,8).

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,2
y4 =
6.Difficile
00,510,40,6ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y5 ≈ y(1,25).

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,25
y5 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,5663
  2. 2. x = 4,3
  3. 3. n = 366
  4. 4. T = 0,739
  5. 5. y4 = 0,9149
  6. 6. y5 = 0,606

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