Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?

b − a = 1ε = 0,0001
n =
2.Facile
x012345y11,41421,732122,23612,4495

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer la valeur x où y = 2,1417.

y = 2,1417
x =
3.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 √x·e−x dx par la méthode de Simpson avec n = 4 bandes. Donnez S.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 4
S =
4.Moyen
t (s)051015202530v (m/s)10161923232929

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode de Simpson.

h = 5 sn = 6
s = m
5.Difficile
00,050,10,150,211,11,2ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,1
y2 =
6.Difficile
00,050,10,150,211,11,21,3ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. n = 14
  2. 2. x = 3,6
  3. 3. S = 0,6226
  4. 4. s = 658,3 m
  5. 5. y2 = 1,223
  6. 6. y1 = 1,253

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