Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x³ − x − 2 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = x³ − x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,05 ?

b − a = 4ε = 0,05
n =
3.Moyen
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Approchez ∫01 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 6
T =
4.Moyen
xy00,751,52,253

Approchez ∫03 sin x dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 4
|E| =
5.Difficile
00,20,40,81ty(0, 1)

Résolvez y′ = t − y, y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,5. La solution exacte est y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,5) − y5|.

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,1
|E| =
6.Difficile
00,10,20,30,50,550,60,65ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y3 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. n = 7
  3. 3. T = 0,9254
  4. 4. |E| = 0,09417
  5. 5. |E| = 0,03208
  6. 6. y3 = 0,625

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