Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x22,22,42,62,83y1,82211,93482,05442,18152,31642,4596

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 2,95.

x = 2,95
y =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Moyen
t (s)05101520v (m/s)1012172226

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 20 s avec la méthode de Simpson.

h = 5 sn = 4
s = m
5.Difficile
00,20,40,6−1−0,50ty(0, −1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = cos t − y, y(0) = −1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25
y3 =
6.Difficile
00,20,40,624ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = t² + y², y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,25
y3 =

Corrigé

  1. 1. y = 2,424
  2. 2. x1 = 0,7504
  3. 3. n = 151
  4. 4. s = 343,3 m
  5. 5. y3 = 0,1198
  6. 6. y3 = 3,731

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