Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 1ε = 0,01
n =
3.Moyen
t (s)012345v (m/s)81110141311

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 1 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 5 s avec la méthode des trapèzes.

h = 1 sn = 5
s = m
4.Moyen
xy00,33330,666711,3331,6672

Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
5.Difficile
00,20,400,20,4ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,20,411,5ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,567
  2. 2. n = 7
  3. 3. s = 57,5 m
  4. 4. T = 1,355
  5. 5. y1 = 0,4629
  6. 6. y1 = 1,667

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