Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x³ + 2x − 5 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = x³ + 2x − 5[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = x³ − x − 1 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = x³ − x − 1[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
3.Moyen
xy012

Approchez ∫02 eˣ dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,5111,52ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = 0,5y, y(0) = 1 afin d’estimer y5 ≈ y(1,25).

y′ = 0,5yy(0) = 1h = 0,25
y5 =
6.Difficile
00,050,10,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y1 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 1,375
  2. 2. c3 = 1,375
  3. 3. |E| = 0,03167
  4. 4. n = 151
  5. 5. y5 = 1,802
  6. 6. y1 = 0,5972

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