Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 3

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 13 avec la valeur de départ x₀ = 3. Trouvez x2.

f(x) = x² − 13f′(x) = 2xx₀ = 3
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫12 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,0001
n =
4.Moyen
xy12,54

Approchez ∫14 1/x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,20,40,6−2,5−2−1,5−1ty(0, −1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = y − t², y(0) = −1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,25
y3 =
6.Difficile
00,20,411,5ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,567
  2. 2. x2 = 3,606
  3. 3. n = 41
  4. 4. |E| = 0,03871
  5. 5. y3 = −2,035
  6. 6. y1 = 1,667

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