Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = cos x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
2.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0001
n =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 sin(x²) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
5.Difficile
00,51−1−0,5ty(0, −1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = −2ty, y(0) = −1 afin d’estimer y5 ≈ y(1,25).

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,25
y5 =
6.Difficile
00,511,546ty(0, 3)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,5 pour y′ = 0,5y, y(0) = 3 afin d’estimer y3 ≈ y(1,5).

y′ = 0,5yy(0) = 3h = 0,5
y3 =

Corrigé

  1. 1. c4 = 0,6875
  2. 2. x2 = 0,5663
  3. 3. n = 116
  4. 4. S = 0,3052
  5. 5. y5 = −0,2051
  6. 6. y3 = 5,859

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