Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 3. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,05 ?

b − a = 3ε = 0,05
n =
2.Facile
xya = 0b = 1

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = cos x − x avec l’intervalle de départ [0, 1]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Moyen
t (s)01020304050v (m/s)6912131414

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 50 s avec la méthode des trapèzes.

h = 10 sn = 5
s = m
5.Difficile
00,20,40,6345ty(0, 3)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = y − t², y(0) = 3 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,2
y3 =
6.Difficile
00,20,40,60,8123ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,8).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y4 =

Corrigé

  1. 1. n = 6
  2. 2. c4 = 0,6875
  3. 3. n = 100
  4. 4. s = 580 m
  5. 5. y3 = 5,142
  6. 6. y4 = 2,828

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