Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 20 avec la valeur de départ x₀ = 5. Trouvez x2.

f(x) = x² − 20f′(x) = 2xx₀ = 5
x2 =
2.Facile
x012345y11,41421,732122,23612,4495

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 1,25.

x = 1,25
y =
3.Moyen
t (s)010203040v (m/s)99141817

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 40 s avec la méthode de Simpson.

h = 10 sn = 4
s = m
4.Moyen
xy012

Approchez ∫02 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,511,52468ty(0, 2)

Résolvez y′ = y − t², y(0) = 2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 1,5. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,5) − y3|.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,5
|E| =
6.Difficile
00,515ty(0, 2)

Résolvez y′ = t + y, y(0) = 2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1,25. La solution exacte est y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,25) − y5|.

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,25
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 4,472
  2. 2. y = 1,494
  3. 3. s = 540 m
  4. 4. |E| = 0,5238
  5. 5. |E| = 1,188
  6. 6. |E| = 1,316

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