Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = cos x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,05 ?

b − a = 4ε = 0,05
n =
3.Moyen
xy00,33330,666711,3331,6672

Approchez ∫02 1/(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
4.Moyen
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Approchez ∫01 sin(x²) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
5.Difficile
00,20,40,6234ty(0, 2)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = t + y, y(0) = 2 afin d’estimer y3 ≈ y(0,6).

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,2
y3 =
6.Difficile
00,10,20,333,54ty(0, 3)

Résolvez y′ = t + y, y(0) = 3 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,3. La solution exacte est y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = t + yy(0) = 3h = 0,1
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,7504
  2. 2. n = 7
  3. 3. T = 1,089
  4. 4. S = 0,3102
  5. 5. y3 = 3,848
  6. 6. |E| = 0,07544

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