Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0,5. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0,5
x2 =
2.Facile
x012345y0,69311,09861,38631,60941,79181,9459

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 4,3.

x = 4,3
y =
3.Moyen
t (s)010203040v (m/s)444814

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 40 s avec la méthode de Simpson.

h = 10 sn = 4
s = m
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
5.Difficile
00,10,20,32,42,62,83ty(0, 3)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 3 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1
y3 =
6.Difficile
00,10,20,333,54ty(0, 3)

Résolvez y′ = y − t², y(0) = 3 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,3. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,1
|E| =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,5671
  2. 2. y = 1,838
  3. 3. s = 246,7 m
  4. 4. n = 82
  5. 5. y3 = 2,478
  6. 6. |E| = 0,05196

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