Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?

b − a = 4ε = 0,0002
n =
2.Facile
xyx₀ = 2,5

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 5 avec la valeur de départ x₀ = 2,5. Trouvez x1.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 2,5
x1 =
3.Moyen
xy00,33330,666711,3331,6672

Approchez ∫02 √(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 6 bandes. Donnez T.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
T =
4.Moyen
t (s)02468v (m/s)78121318

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 2 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 8 s avec la méthode des trapèzes.

h = 2 sn = 4
s = m
5.Difficile
00,20,40,611,52ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y3 =
6.Difficile
00,050,10,150,2−1−0,8−0,6ty(0, −1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = cos t − y, y(0) = −1. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. n = 15
  2. 2. x1 = 2,25
  3. 3. T = 3,26
  4. 4. s = 91 m
  5. 5. y3 = 2,136
  6. 6. y1 = −0,6387

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