Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,005 ?

b − a = 1ε = 0,005
n =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 5f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x2 =
3.Moyen
xy00,250,50,751

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
5.Difficile
00,050,10,150,20,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,2
y1 =
6.Difficile
00,050,10,150,21,81,92ty(0, 2)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = cos t − y, y(0) = 2. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,2
y1 =

Corrigé

  1. 1. n = 8
  2. 2. x2 = 1,331
  3. 3. |E| = 0,00894
  4. 4. n = 283
  5. 5. y1 = 0,5894
  6. 6. y1 = 1,817

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