Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile
xya = 1b = 3

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 3 avec l’intervalle de départ [1, 3]. Trouvez le milieu c4 de l’étape 4.

f(x) = ln x + x − 3[a, b] = [1, 3]n = 4
c4 =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 5 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x1.

f(x) = x³ + 2x − 5f′(x) = 3x² + 2x₀ = 2
x1 =
3.Moyen
xy123

Approchez ∫13 1/x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,10,20,30,41,82ty(0, 2)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = −2ty, y(0) = 2 afin d’estimer y2 ≈ y(0,4).

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,2
y2 =
6.Difficile
01201020ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,5 pour y′ = t + y, y(0) = 1 afin d’estimer y5 ≈ y(2,5).

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,5
y5 =

Corrigé

  1. 1. c4 = 2,125
  2. 2. x1 = 1,5
  3. 3. |E| = 0,0125
  4. 4. n = 84
  5. 5. y2 = 1,702
  6. 6. y5 = 11,69

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