Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xya = 1b = 2

Utilisez la méthode de dichotomie sur f(x) = ln x + x − 2 avec l’intervalle de départ [1, 2]. Trouvez le milieu c3 de l’étape 3.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x1 =
3.Moyen
xy00,751,5

Approchez ∫01,5 e−x² dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Difficile
00,20,400,5ty(0, 0)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,25
y2 =
6.Difficile
00,10,20,30,50,550,60,65ty(0, 0,5)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y3 =

Corrigé

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. x1 = 0,5379
  3. 3. S = 0,8461
  4. 4. n = 84
  5. 5. y2 = 0,5482
  6. 6. y3 = 0,625

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