Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x00,20,40,60,81y00,09980,19870,29550,38940,4794

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 0,75.

x = 0,75
y =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 4 avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
3.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 sin x dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
4.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 sin x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
5.Difficile
00,050,10,150,211,11,21,3ty(0, 1)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,2 pour y′ = t² + y², y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2
y1 =
6.Difficile
00,20,40,40,60,81ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. y = 0,3659
  2. 2. x2 = 2,917
  3. 3. |E| = 0,009617
  4. 4. n = 82
  5. 5. y1 = 1,253
  6. 6. y1 = 0,9138

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