Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 0,5. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0002 ?

b − a = 0,5ε = 0,0002
n =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x2 =
3.Moyen
t (s)051015202530v (m/s)10131312111618

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 30 s avec la méthode de Simpson.

h = 5 sn = 6
s = m
4.Moyen
xy11,52

Approchez ∫12 1/x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,050,10,50,550,6ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y1 =
6.Difficile
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1
y2 =

Corrigé

  1. 1. n = 12
  2. 2. x2 = 0,567
  3. 3. s = 400 m
  4. 4. |E| = 0,001297
  5. 5. y1 = 0,6028
  6. 6. y2 = 0,203

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