Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 0,5. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 0,5ε = 0,01
n =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,001
n =
4.Moyen
xy11,251,51,752

Approchez ∫12 1/x dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 4
|E| =
5.Difficile
00,20,40,60,811,52ty(0, 1)

Résolvez y′ = y − t², y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,2 jusqu’à t = 0,8. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,8) − y4|.

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,2
|E| =
6.Difficile
00,20,411,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y2 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 0,5663
  2. 2. n = 6
  3. 3. n = 37
  4. 4. |E| = 0,003877
  5. 5. |E| = 0,06278
  6. 6. y2 = 1,668

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