Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 4

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x² − 13 avec la valeur de départ x₀ = 4. Trouvez x2.

f(x) = x² − 13f′(x) = 2xx₀ = 4
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 0

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ + 2x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.

f(x) = x³ + 2x − 3f′(x) = 3x² + 2x₀ = 0
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Moyen
t (s)0123456v (m/s)77913111518

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 1 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 6 s avec la méthode de Simpson.

h = 1 sn = 6
s = m
5.Difficile
00,10,20,311,2ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1
y3 =
6.Difficile
00,20,400,20,4ty(0, 0)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = e−ty, y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y1 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 3,606
  2. 2. x2 = 1,114
  3. 3. n = 151
  4. 4. s = 68,33 m
  5. 5. y3 = 1,295
  6. 6. y1 = 0,4629

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