Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x00,20,40,60,81y00,09980,19870,29550,38940,4794

Utilisez l’interpolation linéaire dans le tableau pour estimer y en x = 0,66.

x = 0,66
y =
2.Facile
xyx₀ = 1

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 1. Trouvez x1.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 1
x1 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 x³ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Moyen
xy00,51

Approchez ∫01 eˣ dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Difficile
00,10,20,30,40,450,5ty(0, 0,5)

Résolvez y′ = t − y, y(0) = 0,5 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,3. La solution exacte est y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,1
|E| =
6.Difficile
00,20,40,611,52ty(0, 2)

Résolvez y′ = −2ty, y(0) = 2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 0,75. La solution exacte est y = y₀e−t². Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,75) − y3|.

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,25
|E| =

Corrigé

  1. 1. y = 0,3237
  2. 2. x1 = 0,5379
  3. 3. n = 895
  4. 4. |E| = 0,0005793
  5. 5. |E| = 0,01773
  6. 6. |E| = 0,1729

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