Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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1.Facile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 2. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,01 ?

b − a = 2ε = 0,01
n =
2.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0001
n =
4.Moyen
xy012

Approchez ∫02 √(1 + x³) dx par la méthode de Simpson avec n = 2 bandes. Donnez S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
5.Difficile
00,20,40,50,60,7ty(0, 0,5)

Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,5 pour y′ = t² + y², y(0) = 0,5. Trouvez y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,5
y1 =
6.Difficile
00,10,20,322,5ty(0, 2)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = t + y, y(0) = 2 afin d’estimer y3 ≈ y(0,3).

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,1
y3 =

Corrigé

  1. 1. n = 8
  2. 2. x2 = 1,674
  3. 3. n = 116
  4. 4. S = 3,219
  5. 5. y1 = 0,716
  6. 6. y3 = 2,748

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